卷五百七列传二百九十四 (第2/10页)

带纵长立方积。以句弦和为纵，开得数为两句弦较之中率，自乘为带纵平方积。又以中率与句弦和相减为长阔和，求得长阔两根为两句股较，用求两句股形各数。又同积之边，彼此可互，三次之乘，先后可通，故四倍句股积自乘，即两形之倍句相乘为底，两形之股相乘为高，即犹以中末乘首。中化为中率，再乘为立方三率，亻并为带纵。由是推得立方形两高数恆为首末二率，高阔和恆为三率，亻并数与等积、等弦和之两弦较及弦和丝毫无异。如高九阔十，高阔和十九，立方积九百。若高四阔十五，高阔和亦十九，立方积亦九百，其数莫不由两形相引而出。故其法即命积为带纵长立方积，以高阔和为所带之纵。用带纵长立方法开得本方根，为两形高数之中率。与高阔和相减，馀为带纵之平方长阔和。中率自乘，为带纵平方积。用带纵平方长阔和法开之，得长阔一根，为两形之两高数。两高与和相减，为两阔数。”

    其指识正、负开方也“元李冶传洞渊九容术，撰测圆海镜、益古演段，以明天元如积相消，其究必用正、负开方，互详于宋秦九韶数学九章。梅文穆公虽指天元一为西人借根方所由来，而正、负开方则未有阐明者。元和李秀才锐特为雠校，谓少广一章，得此始贯于一。好古之士，翕然相从。莱独推其有可知、有不可知。如测圆海镜边股第五问‘圜田求径二百四十步与五百七十六步共数’，而李仁卿专以二百四十为答。数学九章田域第二题‘尖田求积二百四十步与八百四十步共数’，而秦道古专以八百四十为答。乃自二乘方以下，缕析推之，得九十五条。凡几根数为带纵长阔较则可知，为带纵长阔和则不可知。又推得几真数少，几根数又多，几平方与一立方积等多少杂糅，和较莫定。立法以审之，以几平方数用几立方数除之，得数乘几根数，以较几真数。若少于真数，则以几平方为高阔较，是为可知。若多于真数，则或几平方为通分法，三母总数、几真数为三母维乘之共数，几根数为通分之共子，如二、如六、如十二。设真数一百四十四，少二百八，根数多二十，平方积与一立方积相等，则三数皆同，是为不可知。”

    盖以一答为可知，不止一答为不可知。故李秀才锐跋其书，括为三例以证明之。谓：“隅实同名者不可知；隅实异名，而从廉正负不杂者可知；隅实异名，而从廉正负相杂，其从翻而与隅同名者可知，否则不可知。隅实异名，即带纵之长阔较也，较仅一答；隅实同名，即带纵之长阔和也，和则不止一答。”锐以隅实同名、异名，明一答与不止一答；莱以长阔、和较，明可知、不可知，其义一也。著有衡斋算学七册，考定通艺录磬氏倨句解一册。

    陈杰，字静弇，乌程诸生。考取天文生，任钦天监博士，供职时宪科兼天文科，司测量。累官国子监算学助教。道光十九年，谢病归，卒于家。生平邃于算学，尤神明于比例之用。初著辑古算经细草一卷，后十馀年，又为之指画形象，成图解三卷；又博采训诂，考正其传写之舛譌，稽合各本之同异，别成音义一卷。

    其自述比例言有曰：“比例之法，昉自九章，传由西域，在古法曰异乘同除，在西法曰比例等。假如甲有钱四百，易米二斗，问乙有钱六百，易米几何？答曰三斗。法以乙钱为实，甲米乘之，得数，甲钱除之，即得。钱与米异名相乘，与钱同名相除，故谓之异乘同除，此古法也。以甲钱比甲米，若乙钱与乙米。凡言以者一率，言比者二率，言若者三率，言与者四率。二三相乘，一率除之，得四率，此西法也。古法元、明时中土几以失传，不知何时流入西域。明神宗时，西人利玛窦来中国，出其所著算书，中人矜为创获，其实所用皆古法，但异其名色耳。兹以西人名色解王氏，固取其平近，亦以名中、西之合辙也。”

    又有论曰：“二十一史律志无不用比例者，他如九章、缉古、十种算书，多用比例，无如古人总不言比例。如缉古第二问，求均给积尺，欲以本体求又一形之体，忽取两面冪之数，一用以乘，一用以除，而得数。又第九问求员囤，第十问求员窖，忽以周径乘除，即如方亭法求之，诸数悉得。走作图解，审谛久之，而始知为比例，乃明言比例以揭之。嗣是而阅古算书者，罔弗比例矣。”

    又自道光以来，尝亲在观象台督率值班天文生频年实测黄、赤大距为二十三度二十七分，未经奏明，故当时未敢用。迨甲辰岁修仪象考成续编，监臣即取此数上之，而钦定颁行焉。

    晚年所譔为算法大成，上编十卷，首加、减、乘、除，次开方、句股，次比例、八线，次对数，次平三角、弧三角。门分类别，皆先列旧法，而以新法附之，图说理解，不惮反覆详明，

    专为引诱初学设也。下编十卷，则有目无书。其言曰：“算法之用多端，第一至要为治历，故下编言在官之事，先治历，次出师，次工程钱粮，次户口盐司，次堆积丈量；儒者则考据经传，下及商贾庶民，则赀本营运，市廛交易，持家日用，凡事无钜细，各设题为问答，以明算法之用，盖如此之广云。”下编似未成。其门人丁兆庆、张福僖均以算名。

    兆庆，字宝书，归安人。沉潜好学，为项学正两边夹角迳求对角新法图说，谓其讲解明晰，戛戛独造。

    福僖，字南坪，乌程诸生。精究小轮之理，著有慧星考略。

    时曰淳，字清甫，嘉定人。精算术。发明古人术意，无不入微。咸丰末，与长沙丁取忠同客胡林翼幕府，每与商榷数理，见丁氏数学拾遗之百鸡术，谓与二色方程暗合。因为广衍，立二十八题，以“旧学商量加邃密、新知培养转深沉”十四字识其上下，为十四耦。诸题皆借方程为本术，并述大衍求一术以博其趣，作百鸡术衍二卷。

    自序略曰：“张丘建算经鸡翁鸡母题问，甄、李两註及刘孝孙草，皆未达术意，不可通。近焦理堂所释尤误。读吾友丁君果臣数学拾遗，设术与二色方程暗合，乃通法也。骆氏艺游录用大衍求一术，以大小较求中数，取径颇巧，然遇较除共较实適尽者，则不可求。方程术则遇法除实得中数，不尽者以分母与减率相求而齐同之，无不